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EQUAÇÃO E FUNÇÃO 2º GRAU

Atualizado: 22 de jan.


DATA: 25/02/2021 - A Fórmula de Bhaskara é uma ferramenta utilizada para a resolução das equações conhecidas como equações de segundo grau, com ela é possível encontrar as possíveis soluções desse tipo de equação a partir de seus coeficientes, que são quaisquer números que multiplicam uma incógnita (valor desconhecido, "x", "y", "z", etc.) em qualquer equação de 2º grau.

Sabendo quais são os coeficientes de uma equação de 2º grau só é preciso substitui-los na Fórmula de Bhaskara, realizar as operações matemáticas e achar os valores das incógnitas da equação.


EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU

As equações chamadas de segundo grau são aqueles definidas por polinômios (soma de incógnitas) de grau 2. Mas o que isso quer dizer? Isso significa que dentre todas as incógnitas ( x , y , z , etc.) desta equação, ao menos uma delas estará elevada ao quadrado (2).

As equação do segundo grau, em sua forma clássica, aparecerão dessa forma:

Equação de 2ºGrau.

Na figura acima, os coeficientes dessa equação são as letras "a", "b" e "c", pois são elas que estão multiplicando o número desconhecido da equação, a incógnita "x".

Observe a equação de 2º grau abaixo:

Se compararmos a primeira equação (forma clássica) com a segunda equação, temos que "a" = 2, "b" = 16 e "c "= 18, sendo eles os coeficientes dessa fórmula.


RESOLVENDO EQUAÇÕES DE 2º GRAU

Conhecendo o que define uma equação de 2º grau, conhecendo seus coeficientes (a, b e c), temos a Fórmula de Bhaskara:

Fórmula de Bhaskara

Na figura acima temos um novo elemento dentro da raiz quadrada (√), este símbolo é a letra grega delta (Δ), na Fórmula de Bhaskara ele é chamado de discriminante. E temos uma fórmula para podermos calcula-lo também, a Fórmula da Discriminante, que segue:

Fórmula da Discriminante.

O delta (Δ) é chamado de Discriminante pois, através dele podemos conhecer mais a respeito das equações de 2º grau, sendo assim o delta das equações as discrimina, as diferencia, da seguinte maneira:


• 1) Se o valor de delta (Δ) for positivo (+), ou seja, maior do que zero (Δ > 0), a equação terá 2 (dois) resultados reais (R) e diferentes;

• 2) Se o valor de delta (Δ) for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará apenas 1 (um) resultado real (R);

• 3) Se o valor de delta (Δ) for negativo (-), ou seja, for menor que zero (Δ < 0), a equação não possui nenhum resultado real (R).


Com estas informações, vamos estão resolver uma equação de 2º grau:

x² + 8x – 9 = 0


• 1º) Encontrar os coeficientes, a = 1 (como não há um número multiplicando x², subentende-se o valor 1, pois, 1 vez "x²" é igual a "x²"), b = 8 e c = – 9;

• 2º) Substituir os coeficientes encontrados na Fórmula da Discriminantes, realizar as operações matemática indicadas e assim encontrar o valor de delta (Δ);

Vejamos:


Δ = b² – ( 4 . a . c )

Δ = 8² – ( 4 . 1 . (– 9) )

Δ = 64 – ( –36 )

Δ = 64 + 36

Δ = 100


OBSERVAÇÃO 1: Temos que Δ é 100, e que portanto é positivo ( Δ > 0, ou seja, maior que zero), então teremos 2 (dois) resultados reais e diferentes para esta equação, pois ao aplicarmos este valor de delta (Δ) na Fórmula de Bhaskara, ele estará dentro de uma raiz quadrada (√), e sabemos que os resultados de uma raiz quadrada de número positivo (no caso, 100) é igual a um número positivo ( + 10 ) e ao mesmo número negativo ( – 10 ). Como demonstrado na figura a seguir:

√100 = + 10 e - 10

• 3º) Encontrado o valor de delta (Δ), discriminante, substituí-lo na Fórmula de Bhaskara, realizar as operações matemática indicadas e assim encontrar os resultados (ou raízes) da equação de 2º grau:


x = ( – b ± √Δ ) / 2 . a

x = ( – 8 ± √100 ) / 2 . 1

x = – 8 ± 10 / 2


• 4º) x' - Primeira Raiz (ou seja, resultado para √100 = + 10 )


x' = ( – 8 + 10 ) / 2

x' = 2 / 2

x' = 1


• 5º) x'' - Segunda Raiz (ou seja, resultado para √100 = – 10 )


x'' = ( – 8 – 10 ) / 2

x'' = – 18 / 2

x'' = – 9


Sendo assim, as raízes (resultados) da equação x² + 8x – 9 = 0 são x' = 1 e x'' = – 9.


Mas e nesta outra equação de 2º grau:


4x² – 4x + 1 = 0


Vamos aplicar o mesmo método usado acima:


a = 4, b = – 4 e c = 1

Δ = b² – ( 4 . a . c )

∆ = ( – 4 )² – ( 4 . 4 . 1)

∆ = 16 – (16)

∆ = 0


OBSERVAÇÃO 2: Temos que Δ = 0 (delta é igual a 0), então teremos apenas 1 (um) resultado real (R) para esta equação, pois ao aplicarmos este valor de delta (Δ) na Fórmula de Bhaskara, ele estará dentro de uma raiz quadrada, e sabemos que a raiz quadrada de 0 é igual a 0, ou seja, nem positivo, nem negativo.


Continuando:


x = ( – b ± √Δ ) / 2 . a

x = ( – ( – 4) ± √0 ) / 2 . 4

x = 4 ± √0 / 8

x = 4 / 8

x = 1 / 2


Sendo assim, a raiz (resultado) da equação 4x² – 4x + 1 = 0 é x = 1/2


E nesta outra equação de 2º grau:


7x² + 3x + 4 = 0


Aplicando o mesmo método de cálculo:

a = 7, b = 3 e c = 4

Δ = b² – ( 4 . a . c )

Δ = 3² – ( 4 . 7 . 4 )

Δ = 9 – (4 . 28)

Δ = 9 – (112)

Δ = - 103


OBSERVAÇÃO 3: Temos que Δ é -103, e que portanto é negativo ( Δ < 0, ou seja, delta menor que zero), então temos que a equação não possui nenhum resultado real (R), pois ao aplicarmos este valor de Δ (delta) na Fórmula de Bhaskara, ele estará dentro de uma raiz quadrada, e sabemos que não existe raiz quadrada de número negativo (-).

Isto porque, qualquer número multiplicado por ele mesmo, seja ele positivo (+) ou negativo (-), sempre terá um resultado positivo, (+) desse modo não há como haver raiz quadrada de número negativo(-). Como demonstrado na figura a seguir:

Multiplicando sinais iguais.

FUNÇÕES DE 2º GRAU

Para entender as aplicações das equações de 2º grau, você precisa saber que existem também funções de 2º grau. As funções representam relações matemáticas entre dois elementos, para cada valor de uma variável (x) você encontrará um único valor da função f(x), chamado de variável dependente. Esta relação pode ser expressa em um gráfico, onde para cada par de elementos relacionados ( x e f(x) = y ) nós teremos um ponto no espaço.

As funções expressas por equações de 2º grau são chamadas funções de 2º grau ou quadráticas e o gráfico que geram é uma parábola, ou seja, uma curva.

Tomemos como exemplo a seguinte função quadrática:


f(x) = x² – x – 2


Para cada valor atribuído a "x", fazendo os cálculos sugeridos pela função, teremos um resultado "y", os pares "x" e "y", poderão ser expressos, com o uso de cálculos, num gráfico com "eixo x", horizontal, para os valores de "x", e um "eixo y", vertical, para os valores de "y". Conforme a seguir:

f(x) = x² – x – 2 (Δ>0)

OBSERVAÇÃO 4: A parábola (curva) que se forma no gráfico cruza o "eixo x" em 2 (dois) lugares, isto porque se isolarmos a equação de 2º grau, que compõem a função (ou seja, x² – x – 2), temos que o seu Δ (delta) é positivo (Δ > 0), o que significam 2 possíveis resultados para a fórmula, onde y=0 (x'= 2 e x''= – 1).


No entanto, o que acontece se a equação de 2º grau que forma a função tiver como Δ (delta) um número negativo (-) (Δ < 0)? Vamos ver no caso a seguir:


f(x) = – x² – x – 2


Teríamos os seguintes resultados e gráfico:

f(x) = – x² – x – 2 (Δ<0)

OBSERVAÇÃO 5: A parábola (curva) que se forma não toca o "eixo x", isto porque se isolarmos a equação de 2º grau, que compõem a função (ou seja, – x² – x – 2), temos que o seu Δ (delta) é negativo (Δ < 0), o que significa que não existem resultados possíveis para a fórmula, onde y=0, sendo assim o "eixo x" não corta a parábola.


Porem, se a equação de 2º grau que compõem a função tiver um Δ (delta) com valor igual a zero (Δ = 0)? Como na seguinte função:


f(x) = x² – 2x + 1


Com os seguintes resultados e gráfico:

f(x) = x² – 2x + 1 (Δ=0)

OBSERVAÇÃO 6: A parábola (curva) que se forma toca o "eixo x" em apenas um ponto, isto porque se isolarmos a equação de 2º grau, que compõem a função (ou seja, x² – 2x + 1), temos que o seu Δ (delta) é igual a zero (Δ = 0), o que significa que só existe um resultado possível para a fórmula, onde y=0, sendo assim a curva tangencia, toca, o "eixo x" em um único local (x = 1).


Compare as funções a seguir, f(x) = x² – x – 2 e 2) f(x) = – x² – x – 2, observe que o único elemento que as diferencia é o sinal do coeficiente "a". Na primeira função ele é positivo (+), ou seja "a" = 1 (a > 0), já na segunda, o sinal do coeficiente "a" é negativo (-), ou seja "a" = – 1 (a < 0). Agora observe os gráficos formados por estas funções:

Função de 2º Grau com a > 0 e a < 0

OBSERVAÇÃO 7: Podemos notar que na primeira função de 2º grau (f(x) = x² – x – 2, onde o coeficiente "a" = 1, a > 0, ou seja, positivo (+), a concavidade (abertura) da parábola está voltada para cima, enquanto na segunda função (f(x) = – x² – x – 2, onde o coeficiente "a" = – 1, a < 0, ou seja, negativo (-), a concavidade (abertura) da parábola está voltada para baixo.


APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES E FUNÇÕES DE 2º GRAU

Agora qual a o objetivo de aprendermos equações e funções de 2º grau, se aparentemente não utilizamos este conhecimento de forma prática no cotidiano. Nós podemos não fazer estes cálculos a todo instante, mas eles nos rodeiam a todo momento.

Cobrança de Escanteio.

No futebol, quando o jogador chuta um escanteio o caminho que a bola percorre é uma curva, um parábola, assim como em todos os lançamentos, de qualquer natureza, uma pedra, uma flecha, uma bala de canhão, um dardo olímpico, um lançamento de satélite ou foguete.

Ponte Juscelino Kubitschek em Brasília.

Na Química, a decomposição ou desintegração de determinadas substâncias é expressa por equações de 2º grau, bem como fenômenos naturais relacionados ao crescimento ou ao decrescimento estudados pela Biologia, como a multiplicação de bactérias, fotossíntese das plantas, etc., na Física, está intimamente ligado aos movimentos uniformemente variados (MUV), nas relações entre espaço e tempo. Na Administração e na Contabilidade, as equações de 2º grau, estão relacionadas as funções de Custo, Receita e Lucro, na Engenharia, as estruturas em formas de arcos também se relacionam com estas equações.


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