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TEOREMA DE PITÁGORAS

Atualizado: 15 de out. de 2020



DATA: 26/05/2020 - Dentro da Geometria, ramo da matemática que estuda as formas, tamanhos e relação das formas no espaço, tem como um de seus mais importantes conteúdos a Trigonometria.

A Trigonometria, que é o ramo da Geometria que estuda as relação entre os tamanhos dos dois lados de um triângulo retângulo - triângulo que tem um de seus ângulos reto, ou seja que meça 90 º (graus) - e os diferentes tamanhos de seus outros ângulos, por sua vez é baseada no importante Teorema de Pitágoras.

Este Teorema tem o nome daquele ao qual é atribuída sua descoberta e demonstração o filosofo grego Pitágoras, nascido a 2.500 anos atrás na ilha grega de Samos. Apesar de atualmente haverem evidências de demonstração anteriores a Pitágoras, como por exemplo entre estudiosos indianos, chineses, egípcios e babilônicos.

Mas o que diz o Teorema? "Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos." Tudo bem, mas o que é hipotenusa e o que são os catetos, basicamente, os catetos são os lados do triângulo que formam o ângulos reto, e a hipotenusa é o lado que resta, isto é, aquele que é oposto ao ângulo reto (90º), conforme a figura abaixo:

Baseado na figura acima do triângulo retângulo ABC, os catetos são os segmentos de reta AC e BC, enquanto a hipotenusa é o segmento AB.

O Teorema costuma ser expresso simplificadamente como "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.", transformando isto em um equação temos:

Como o Teorema de Pitágoras trata de um relação entre ângulos e lados, outra característica interessante do Teorema é a sua reversibilidade, ou seja, qualquer triângulo com lados a, b e c, onde a² = b² + c², o ângulo formado pelos lados b e c mede 90° (graus).

Antes de prosseguirmos temos de observar algo interessante, temos expressas nele potências de 2, isto é, números elevados por 2, na Geometria isto é uma indicação de medida de área. Na Geometria para calcularmos a área de uma figura bidimensional (com 2 dimensões) geralmente multiplicamos a sua largura (L) pelo seu comprimento (C).

Por exemplo, temos um banheiro com quatro paredes iguais e que formam quatro ângulos retos, de uma parede a outra temos sempre a mesma medida, 2 metros. Nós acabamos de descrever um quadrado, que é uma figura geométrica com tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Temos a seguir o banheiro do nosso exemplo:

Agora e se quisermos trocar o piso deste banheiro e ao irmos a loja de construção comprar os pisos o vendedor nos perguntar: "Qual a área do banheiro para saber a quantidade de pisos que você precisa comprar?". Se a Área é a multiplicação da largura pelo cumprimento, no caso do quadrado estas duas medidas são iguais, que são os seus lados (L), então a Área do quadrado é seu lado multiplicado por seu lado, ou seja, Área do Quadro = L².

No exemplo, 2 x 2 = 4, porém porque quando as pessoas falam a Área do banheiro elas dizem 4 metros quadrados (m²)? Por que na verdade a conta que se faz é 2 x m (metros) x 2 x m (metros) = 4 m² (metros x metros = metros quadrados = m² ), ou seja, as unidades de medidas também são multiplicadas, no caso os metros, por este motivo, expoente 2 está associado a Área.

Agora voltemos a Pitágoras, o seu Teorema não é "Soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.", outro matemático grego, Euclides, as vezes chamado "Pai da Geometria", fez uma interessante demonstração sobre o Teorema de Pitágoras, usando este conceito de Área.

Tomando um triângulo retângulo cujos lados são os números do trio pitagórico, ou seja, 3, 4 e 5, ele demonstrou o Teorema de Pitágoras, como na figura que segue:

Podemos observar acima que ao desenharmos um quadrado formado pelo lado de tamanho 3, o quadrado azul da imagem, descobrimos que sua área é 9, ou seja 3 x 3. Já ao desenharmos um quadrado formado pelo lado 4, o quadrado amarelo da imagem, descobrimos que sua área é 16, ou seja 4 x 4. Já ao desenharmos um quadrado formado pelo lado 5, a hipotenusa, descobrimos que sua área é 25, ou seja, a soma dos quadrados amarelos com os quadrados azuis, ou ainda, 5 x 5.

Assim Euclides demonstrou que "em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é formado pela hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são formados pelos catetos.", ou seja, a² = b² + c².

Além de seu uso fundamental na Trigonometria, na aplicação das relações entre os lados de um triângulo retângulo, para com os seus ângulos agudos (menores que 90º): seno, cosseno e tangente, o Teorema pode ser aplicado em outras relações, como:


1) Altura do Triângulo Equilátero (aquele que tem todos os ângulos iguais)

Sendo L = lado do triângulo equilátero, h = altura do triângulo equilátero e L/2 = lado do triângulo equilátero divido por 2, usando o Teorema de Pitágoras temos: L² = h² + (L/2)²

2) Diagonal do Quadrado

Sendo d = diagonal do quadrado e L = lado do quadro, temos que ao traçar a diagonal do quadrado ficamos com dois triângulos retângulos iguais e isósceles (dois lados iguais, no caso L, e um lado diferente, no caso d), aplicando o Teorema de Pitágoras temos: d² = L² + L² -> d² = 2 x L² -> d = 2 x L² -> d = L 2.


Se alguns duvidam que Pitágoras tenha descoberto o Teorema, muitos concordam que foi ele quem deu um uso prático para ele, a medição de distâncias. Ou seja, sabendo a distância entre os pontos AC e BC, e que entre estas distância se forma um ângulo reto (90º), isto é elas são perpendiculares, é possível saber a distância entre os pontos AB.

Vamos para a aplicação do Teorema e a resolução de um problema:

Sabendo que a distância entre os pontos A e C é de 60 metros e dos pontos B e C é de 80 metros, sabendo que a distâncias AC e BC são perpendiculares (formam um ângulo reto), qual a distância entre os pontos A e B?


AB² = AC² + BC²

AB² = 60² + 80²

AB² = 3.600 + 6.400

AB² = 10.000

AB = 100²

AB = 100 metros


Acesse o link para maiores informações:

Acesso em 26.05.2020





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